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高三數(shù)學數(shù)列教案（精選10篇）
作為一位不辭辛勞的人民教師，往往需要進行教案編寫工作，教案有助于順利而有效地開展教學活動。那要怎么寫好教案呢？下面是小編為大家收集的高三數(shù)學數(shù)列教案，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
高三數(shù)學數(shù)列教案 1
證明數(shù)列是等比數(shù)列
an=(2a-6b)n+6b
當此數(shù)列為等比數(shù)列時，顯然是常數(shù)列，即2a-6b=0
這個是顯然的東西，但是我不懂怎么證明
常數(shù)列嗎.所以任何一個K和M都應該有ak=amak=(2a-6b)k+6b am=(2a-6b)m+6bak-am=(2a-6b)(k-m)因為ak-am恒為0k m任意所以一定有2a-6b=0即a=3b
補充回答：題目條件看錯,再證明當此數(shù)列為等比數(shù)列時
2a-6b=0
因為等比a3:a2=a2:a1
即(6a-12b)-2a=(4a-6b)^2
a^2-6ab+9b^2=0
即(a-3b)^2=0
所以肯定有a=3b成立
2
數(shù)列an前n項和為Sn已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明
(1)(Sn/n)是等比數(shù)列
(2) S(n+1)=4an
1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+1)=(2n+2)Sn
S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2
S1/1=A1=1
所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列
2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列
所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1-2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)
=n-2-2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)
=[2n-(n-1)]-2^(n-2)
=(n+1)2^(n-2)
=(n+1)-2^n/2^2
=(n+1)2^n/4
=S(n+1)/4
所以有S(n+1)=4An
a(n)-a(n-1)=2(n-1)
上n-1個式子相加得到：
an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)
右邊是等差數(shù)列，且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)
所以：
an-2=n^2-n
an=n^2-n+2
4、
已知數(shù)列{3-2的'N此方}，求證是等比數(shù)列
根據(jù)題意，數(shù)列是3-2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...
為了驗證它是等比數(shù)列只需要比較任何一項和它相鄰項的比值是一個不依賴項次的固定比值就可以了.
所以第n項和第n+1項分別是3-2^n和3-2^(n+1),相比之后有:
[3-2^(n+1)]/(3-2^n)=2
因為比值是2,不依賴n的選擇,所以得到結(jié)論.
5
數(shù)列an前n項和為Sn已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明
(1)(Sn/n)是等比數(shù)列
(2) S(n+1)=4an
1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+1)=(2n+2)Sn
S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2
S1/1=A1=1
所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列
2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列
所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1-2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
高三數(shù)學數(shù)列教案 2
一、課前檢測
1.在數(shù)列{an}中，an=1n+1+2n+1++nn+1，又bn=2anan+1，求數(shù)列{bn}的前n項的和.
解：由已知得：an=1n+1(1+2+3++n)=n2，
bn=2n2n+12=8(1n-1n+1) 數(shù)列{bn}的前n項和為
Sn=8[(1-12)+(12-13)+(13-14)++(1n-1n+1)]=8(1-1n+1)=8nn+1.
2.已知在各項不為零的數(shù)列 中， 。
(1)求數(shù)列 的通項;
(2)若數(shù)列 滿足 ，數(shù)列 的前 項的和為 ，求
解：(1)依題意， ，故可將 整理得：
所以 即
，上式也成立，所以
(2)
二、知識梳理
(一)前n項和公式Sn的定義：Sn=a1+a2+an。
(二)數(shù)列求和的方法(共8種)
5.錯位相減法：適用于差比數(shù)列(如果 等差， 等比，那么 叫做差比數(shù)列)即把每一項都乘以 的公比 ，向后錯一項，再對應同次項相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。
如：等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導的
解讀：
6.累加(乘)法
解讀：
7.并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.
形如an=(-1)nf(n)類型，可采用兩項合并求。
解讀：
8.其它方法：歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等。
解讀：
三、典型例題分析
題型1 錯位相減法
例1 求數(shù)列 前n項的和.
解：由題可知{ }的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{ }的通項之積
設 ①
�、� (設制錯位)
�、�-②得 (錯位相減)
變式訓練1 (20xx昌平模擬)設數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3++3n-1an=n3，nN*.
(1)求數(shù)列{an}的.通項公式;
(2)設bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解：(1)∵a1+3a2+32a3++3n-1an=n3， ①
當n2時，a1+3a2+32a3++3n-2an-1=n-13. ②
�、�-②得3n-1an=13，an=13n.
在①中，令n=1，得a1=13，適合an=13n， an=13n.
(2)∵bn=nan，bn=n3n.
Sn=3+232+333++n 3n， ③
3Sn=32+233+334++n 3n+1. ④
�、�-③得2Sn=n 3n+1-(3+32+33++3n)，
即2Sn=n 3n+1-3(1-3n)1-3， Sn=(2n-1)3n+14+34.
小結(jié)與拓展：
題型2 并項求和法
例2 求 =1002-992+982-972++22-12
解： =1002-992+982-972++22-12=(100+ 99)+(98+97)++(2+1)=5050.
變式訓練2 數(shù)列{(-1)nn}的前20xx項的和S2 010為( D )
A.-20xx B.-1005 C.20xx D.1005
解：S2 010=-1+2-3+4-5++2 008-2 009+2 010
=(2-1)+(4-3)+(6-5)++(2 010-2 009)=1 005.
小結(jié)與拓展：
題型3 累加(乘)法及其它方法：歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等
例3 (1)求 之和.
(2)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項的乘積等于Tn= (nN*)，
，則數(shù)列{bn}的前n項和Sn中最大的一項是( D )
A.S6 B.S5 C.S4 D.S3
解：(1)由于 (找通項及特征)
= (分組求和)= =
=
(2)D.
變式訓練3 (1)(20xx福州八中)已知數(shù)列 則 , 。答案：100. 5000。
(2)數(shù)列 中， ，且 ，則前20xx項的和等于( A )
A.1005 B.20xx C.1 D.0
小結(jié)與拓展：
四、歸納與總結(jié)(以學生為主，師生共同完成)
以上一個8種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使
其能進行消項處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。
高三數(shù)學數(shù)列教案 3
數(shù)列
§3.1.1數(shù)列、數(shù)列的通項公式目的：要求學生理解數(shù)列的概念及其幾何表示，理解什么叫數(shù)列的通項公式，給出一些數(shù)列能夠?qū)懗銎渫椆�，已知通項公式能夠求�?shù)列的項。
重點：1數(shù)列的概念。按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，數(shù)列的第n項an叫做數(shù)列的通項(或一般項)。由數(shù)列定義知：數(shù)列中的數(shù)是有序的，數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，這與數(shù)集中的數(shù)的無序性、互異性是不同的。
2.數(shù)列的通項公式，如果數(shù)列{an}的通項an可以用一個關于n的公式來表示，這個公式就叫做數(shù)列的通項公式。從映射、函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看成是定義域為正整數(shù)集N-(或?qū)挼挠邢拮蛹?的函數(shù)。當自變量順次從小到大依次取值時對自學成才的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式則是相應的解析式。由于數(shù)列的項是函數(shù)值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標畫出的`圖像是一些孤立的點。難點：根據(jù)數(shù)列前幾項的特點，以現(xiàn)規(guī)律后寫出數(shù)列的通項公式。給出數(shù)列的前若干項求數(shù)列的通項公式，一般比較困難，且有的數(shù)列不一定有通項公式，如果有通項公式也不一定唯一。給出數(shù)列的前若干項要確定其一個通項公式，解決這個問題的關鍵是找出已知的每一項與其序號之間的對應關系，然后抽象成一般形式。過程：一、從實例引入(P110)1.堆放的鋼管4,5,6,7,8,9,102.正整數(shù)的倒數(shù)
3. 4. -1的正整數(shù)次冪：-1,1,-1,1,…
5.無窮多個數(shù)排成一列數(shù)：1,1,1,1,…
二、提出課題：數(shù)列
1.數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)(數(shù)列的有序性)
2.名稱：項，序號，一般公式，表示法
3.通項公式：與之間的函數(shù)關系式如數(shù)列1：數(shù)列2：數(shù)列4：
4.分類：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列;常數(shù)列;擺動數(shù)列;有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。
5.實質(zhì)：從映射、函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N-(或它的有限子集{1，2，…，n})的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值，通項公式即相應的函數(shù)解析式。
6.用圖象表示：—是一群孤立的點例一(P111例一略)
三、關于數(shù)列的通項公式1.不是每一個數(shù)列都能寫出其通項公式(如數(shù)列3)
2.數(shù)列的通項公式不唯一如：數(shù)列4可寫成和
3.已知通項公式可寫出數(shù)列的任一項，因此通項公式十分重要例二(P111例二)略
四、補充例題：寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前項分別是下列各數(shù)：1.1，0，1，0. 2.，3.7，77，777，7777 4.-1，7，-13，19，-25，31 5.，
五、小結(jié)：1.數(shù)列的有關概念2.觀察法求數(shù)列的通項公式
六、作業(yè)：練習P112習題3.1(P114)1、2
七、練習：1.觀察下面數(shù)列的特點，用適當?shù)臄?shù)填空，關寫出每個數(shù)列的一個通項公式;(1)，( )，…(2)，( )，…
2.寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：(1)1、 、 、 ; (2) 、 、 、 ; (3) 、 、 、 ; (4) 、 、 、 。
3.求數(shù)列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個通項公式
4.已知數(shù)列an的前4項為0，0，則下列各式①an= ②an= ③an=其中可作為數(shù)列{an}通項公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③
5.已知數(shù)列1，3，…，…，則是這個數(shù)列的( ) A.第10項B.第11項C.第12項D.第21項
6.在數(shù)列{an}中a1=2,a17=66,通項公式或序號n的一次函數(shù)，求通項公式。
7.設函數(shù)( )，數(shù)列{an}滿足(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性。
8.在數(shù)列{an}中，an=(1)求證：數(shù)列{an}先遞增后遞減;(2)求數(shù)列{an}的最大項。答案：1. (1)，an= (2)，an= 2.(1)an= (2)an= (3)an= (4)an= 3.an=或an=這里借助了數(shù)列1，0，1，0，1，0…的通項公式an=。4.D 5.B 6. an=4n-2
7.(1)an= (2)<1又an<0, ∴是遞增數(shù)列
高三數(shù)學數(shù)列教案 4
2.2.1等差數(shù)列學案
一、預習問題：
1、等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從 起，每一項與它的前一項的差等于同一個 ，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ， 通常用字母 表示。
2、等差中項：若三個數(shù) 組成等差數(shù)列，那么A叫做 與 的 ，
即 或 。
3、等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列的公差 時，數(shù)列為遞增數(shù)列; 時，數(shù)列為遞減數(shù)列; 時，數(shù)列為常數(shù)列;等差數(shù)列不可能是 。
4、等差數(shù)列的通項公式： 。
5、判斷正誤：
�、�1，2，3，4，5是等差數(shù)列; （ ）
�、�1，1，2，3，4，5是等差數(shù)列; （ ）
�、蹟�(shù)列6，4，2，0是公差為2的`等差數(shù)列; （ ）
�、軘�(shù)列 是公差為 的等差數(shù)列; （ ）
⑤數(shù)列 是等差數(shù)列; （ ）
�、奕� ，則 成等差數(shù)列; （ ）
�、呷� ，則數(shù)列 成等差數(shù)列; （ ）
�、嗟炔顢�(shù)列是相鄰兩項中后項與前項之差等于非零常數(shù)的數(shù)列; （ ）
�、岬炔顢�(shù)列的公差是該數(shù)列中任何相鄰兩項的差。 （ ）
6、思考：如何證明一個數(shù)列是等差數(shù)列。
二、實戰(zhàn)操作：
例1、（1）求等差數(shù)列8，5，2，的第20項。
（2） 是不是等差數(shù)列 中的項？如果是，是第幾項？
�。�3）已知數(shù)列 的公差 則
例2、已知數(shù)列 的通項公式為 ，其中 為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？
例3、已知5個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為 求這5個數(shù)。
高三數(shù)學數(shù)列教案 5
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面，學習數(shù)列也為進一步學習數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準備。而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了學習對比的依據(jù)。
2、教學目標
根據(jù)教學大綱的要求和學生的實際水平，確定了本次課的教學目標
a在知識上：理解并掌握等差數(shù)列的概念；了解等差數(shù)列的通項公式的推導過程及思想；初步引入“數(shù)學建�！钡乃枷敕椒ú⒛苓\用。
b在能力上：培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、推理的能力；在領會函數(shù)與數(shù)列關系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。
c在情感上：通過對等差數(shù)列的研究，培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結(jié)的良好思維習慣。
3、教學重點和難點
根據(jù)教學大綱的要求我確定本節(jié)課的教學重點為:
①等差數(shù)列的概念。
�、诘炔顢�(shù)列的通項公式的。推導過程及應用。
由于學生第一次接觸不完全歸納法，對此并不熟悉因此用不完全歸納法推導等差數(shù)列的同項公式是這節(jié)課的一個難點。同時，學生對“數(shù)學建模”的思想方法較為陌生，因此用數(shù)學思想解決實際問題是本節(jié)課的另一個難點。
二、學情教法分析：
對于三中的高一學生，知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了教強的抽象思維能力和演繹推理能力，所以我在授課時注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。
針對高中生這一思維特點和心理特征，本節(jié)課我采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學方法，通過問題激發(fā)學生求知欲，使學生主動參與數(shù)學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。
三、學法指導：
在引導分析時，留出學生的思考空間，讓學生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。
四、教學程序
本節(jié)課的教學過程由
�。ㄒ�)復習引入
（二）新課探究
�。ㄈ⿷门e例
（四）反饋練習
�。ㄎ澹w納小結(jié)
(六）布置作業(yè)，六個教學環(huán)節(jié)構(gòu)成。
�。ㄒ唬⿵土曇耄�
1、從函數(shù)觀點看，數(shù)列可看作是定義域為__________對應的一列函數(shù)值，從而數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的______。（N﹡；解析式）
通過練習1復習上節(jié)內(nèi)容，為本節(jié)課用函數(shù)思想研究數(shù)列問題作準備。
2、小明目前會100個單詞，他她打算從今天起不再背單詞了，結(jié)果不知不覺地每天忘掉2個單詞，那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞減為：100，98，96，94，92 ①
3、 小芳只會5個單詞，他決定從今天起每天背記10個單詞，那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞增為5，10，15，20，25 ②
通過練習2和3引出兩個具體的等差數(shù)列，初步認識等差數(shù)列的特征，為后面的概念學習建立基礎，為學習新知識創(chuàng)設問題情站境，激發(fā)學生的求知欲。由學生觀察兩個數(shù)列特點，引出等差數(shù)列的概念，對問題的總結(jié)又培養(yǎng)學生由具體到抽象、由特殊到一般的認知能力。
�。ǘ� 新課探究
1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念：
如果一個數(shù)列，從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。強調(diào)：
�、� “從第二項起”滿足條件；
②公差d一定是由后項減前項所得；
③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(shù)（強調(diào)“同一個常數(shù)” ）；
在理解概念的基礎上，由學生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，歸納出數(shù)學表達式：
an+1-an=d (n≥1)同時為了配合概念的理解，我找了5組數(shù)列，由學生判斷是否為等差數(shù)列，是等差數(shù)列的找出公差。
1、 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1
2、 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01
3、 0，0，0，0，0，0，……。； √ d=0
4、 1，2，3，2，3，4，……；×
5、 1，0，1，0，1，……×
其中第一個數(shù)列公差<0,>0,第三個數(shù)列公差=0
由此強調(diào)：公差可以是正數(shù)、負數(shù)，也可以是0
2、第二個重點部分為等差數(shù)列的通項公式
在歸納等差數(shù)列通項公式中，我采用討論式的教學方法，《高中數(shù)學說課稿：等差數(shù)列》。給出等差數(shù)列的首項，公差d，由學生研究分組討論a4的通項公式。通過總結(jié)a4的通項公式由學生猜想a40的通項公式，進而歸納an的通項公式。整個過程由學生完成，通過互相討論的方式既培養(yǎng)了學生的協(xié)作意識又化解了教學難點。
若一等差數(shù)列{an }的首項是a1,公差是d,則據(jù)其定義可得：
a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想: a40 = a1 +39d，進而歸納出等差數(shù)列的通項公式：
an=a1+(n-1)d
此時指出：這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，為了培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項公式的辦法------迭加法：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an – an-1=d
將這(n-1)個等式左右兩邊分別相加，就可以得到 an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d (1)
當n=1時，(1)也成立，所以對一切n∈N﹡，上面的公式都成立
因此它就是等差數(shù)列{an｝的通項公式。
在迭加法的證明過程中，我采用啟發(fā)式教學方法。
利用等差數(shù)列概念啟發(fā)學生寫出n-1個等式。
對照已歸納出的通項公式啟發(fā)學生想出將n-1個等式相加。證出通項公式。
在這里通過該知識點引入迭加法這一數(shù)學思想，逐步達到“注重方法，凸現(xiàn)思想” 的教學要求
接著舉例說明：若一個等差數(shù)列{an｝的首項是1，公差是2，得出這個數(shù)列的通項公式是：an=1+(n-1)×2 ，即an=2n-1 以此來鞏固等差數(shù)列通項公式運用
同時要求畫出該數(shù)列圖象，由此說明等差數(shù)列是關于正整數(shù)n一次函數(shù)，其圖像是均勻排開的無窮多個孤立點。用函數(shù)的思想來研究數(shù)列，使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚。
�。ㄈ⿷门e例
這一環(huán)節(jié)是使學生通過例題和練習，增強對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用，提高解決實際問題的能力。通過例1和例2向?qū)W生表明：要用運動變化的觀點看等差數(shù)列通項公式中的a1、d、n、an這4個量之間的.關系。當其中的部分量已知時，可根據(jù)該公式求出另一部分量。
例1 (1)求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項；第30項；第40項
(2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？
在第一問中我添加了計算第30項和第40項以加強鞏固等差數(shù)列通項公式；第二問實際上是求正整數(shù)解的問題，而關鍵是求出數(shù)列的通項公式an.
例2 在等差數(shù)列{an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首項a1與公差d。
在前面例1的基礎上將例2當作練習作為對通項公式的鞏固
例3 是一個實際建模問題
建造房屋時要設計樓梯，已知某大樓第2層的樓底離地面的高度為3米，第三層離地面5.8米，若樓梯設計為等高的16級臺階，問每級臺階高為多少米？
這道題我采用啟發(fā)式和討論式相結(jié)合的教學方法。啟發(fā)學生注意每級臺階“等高”使學生想到每級臺階離地面的高度構(gòu)成等差數(shù)列，引導學生將該實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型------等差數(shù)列：（學生討論分析，分別演板，教師評析問題。問題可能出現(xiàn)在：項數(shù)學生認為是16項，應明確a1為第2層的樓底離地面的高度，a2表示第一級臺階離地面的高度而第16級臺階離地面高度為a17，可用課件展示實際樓梯圖以化解難點）。
設置此題的目的：1.加強同學們對應用題的綜合分析能力，2.通過數(shù)學實際問題引出等差數(shù)列問題，激發(fā)了學生的興趣；3.再者通過數(shù)學實例展示了“從實際問題出發(fā)經(jīng)抽象概括建立數(shù)學模型，最后還原說明實際問題的“數(shù)學建�！钡臄�(shù)學思想方法
�。ㄋ模┓答伨毩�
1、小節(jié)后的練習中的第1題和第2題（要求學生在規(guī)定時間內(nèi)完成）。目的：使學生熟悉通項公式，對學生進行基本技能訓練。
2、書上例3)梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列。計算中間各級的寬度。
目的：對學生加強建模思想訓練。
3、若數(shù)例{an} 是等差數(shù)列，若 bn = k an ，（k為常數(shù)）試證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列
此題是對學生進行數(shù)列問題提高訓練，學習如何用定義證明數(shù)列問題同時強化了等差數(shù)列的概念。
�。ㄎ�)歸納小結(jié)(由學生總結(jié)這節(jié)課的收獲）
1、等差數(shù)列的概念及數(shù)學表達式。
強調(diào)關鍵字：從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)
2、等差數(shù)列的通項公式 an= a1+(n-1) d會知三求一
3、用“數(shù)學建模”思想方法解決實際問題
�。┎贾米鳂I(yè)
必做題：課本P114 習題3.2第2，6 題
選做題：已知等差數(shù)列{an}的首項a1=-24，從第10項開始為正數(shù)，求公差d的取值范圍。
（目的：通過分層作業(yè)，提高同學們的求知欲和滿足不同層次的學生需求）
五、板書設計
在板書中突出本節(jié)重點，將強調(diào)的地方如定義中，“從第二項起”及“同一常數(shù)”等幾個字用紅色粉筆標注，同時給學生留有作題的地方，整個板書充分體現(xiàn)了精講多練的教學方法。
高三數(shù)學數(shù)列教案 6
教學目標：明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項公式，會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題;培養(yǎng)學生觀察能力，進一步提高學生推理、歸納能力，培養(yǎng)學生的應用意識.
教學重點：1.等差數(shù)列的概念的理解與掌握. 2.等差數(shù)列的通項公式的推導及應用.教學難點：等差數(shù)列“等差”特點的理解、把握和應用.教學過程：
�、�.復習回顧上兩節(jié)課我們共同學習了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的`兩種方法——通項公式和遞推公式.這兩個公式從不同的角度反映數(shù)列的特點，下面我們看這樣一些例子
Ⅱ.講授新課10，8，6，4，2，…; 21，21，22，22，23，23，24，24，25 2，2，2，2，2，…首先，請同學們仔細觀察這些數(shù)列有什么共同的特點?是否可以寫出這些數(shù)列的通項公式?(引導學生積極思考，努力尋求各數(shù)列通項公式，并找出其共同特點)它們的共同特點是：從第2項起，每一項與它的前一項的“差”都等于同一個常數(shù).也就是說，這些數(shù)列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點.具有這種特點的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)列.
1.定義等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.
2.等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關系而得.若一等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得：(n-1)個等式若將這n-1個等式左右兩邊分別相加，則可得：an-a1=(n-1)d即：an=a1+(n-1)d當n=1時，等式兩邊均為a1，即上述等式均成立，則對于一切n∈N-時上述公式都成立，所以它可作為數(shù)列{an}的通項公式.看來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a1和公差d,便可求得其通項.由通項公式可類推得：am=a1+(m-1)d，即：a1=am-(m-1)d，則：an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d.如：a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d
請同學們來思考這樣一個問題.如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a、A、b成等差數(shù)列，那么A應滿足什么條件?由等差數(shù)列定義及a、A、b成等差數(shù)列可得：A-a=b-A，即：a=.反之，若A=，則2A=a+b，A-a=b-A，即a、A、b成等差數(shù)列.總之，A= a，A，b成等差數(shù)列.如果a、A、b成等差數(shù)列，那么a叫做a與b的等差中項.例題講解[
例1]在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a15=25，求a25.
思路一：根據(jù)等差數(shù)列的已知兩項，可求出a1和d，然后可得出該數(shù)列的通項公式，便可求出a25.
思路二：若注意到已知項為a5與a15，所求項為a25，則可直接利用關系式an=am+(n-m)d.這樣可簡化運算.思路三：若注意到在等差數(shù)列{an}中，a5，a15，a25也成等差數(shù)列，則利用等差中項關系式，便可直接求出a25的值.
[例2](1)求等差數(shù)列8，5，2…的第20項.分析：由給出的三項先找到首項a1,求出公差d，寫出通項公式，然后求出所要項
答案：這個數(shù)列的第20項為-49. (2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項?如果是，是第幾項?分析：要想判斷-401是否為這數(shù)列的一項，關鍵要求出通項公式，看是否存在正整數(shù)n，可使得an=-401. ∴-401是這個數(shù)列的第100項.
Ⅲ.課堂練習
1.(1)求等差數(shù)列3，7，11，……的第4項與第10項.
(2)求等差數(shù)列10，8，6，……的第20項. (3)100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項?如果是，是第幾項?如果不是，說明理由. 2.在等差數(shù)列{an}中，
(1)已知a4=10，a7=19，求a1與d;
(2)已知a3=9，a9=3，求a12.
�、�.課時小結(jié)通過本節(jié)學習，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學表達式：an-an-1=d(n≥2).其次，要會推導等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d(n≥1)，并掌握其基本應用.最后，還要注意一重要關系式：an=am+(n-m)d的理解與應用以及等差中項。
�、�.課后作業(yè)課本P39習題1，2，3，4
高三數(shù)學數(shù)列教案 7
一、教學目標
熟練掌握等差數(shù)列的定義（從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)）、通項公式（\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)）及前\(n\)項和公式（\(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\)）。
靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)，如\(a_m + a_n = a_p + a_q\)（\(m + n = p + q\)）、奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關系等解決問題。
提升數(shù)學運算能力與邏輯推理能力，能快速準確解決等差數(shù)列的基本運算及性質(zhì)應用類題目。
二、教學重難點
重點：等差數(shù)列通項公式、前\(n\)項和公式的推導與應用，等差數(shù)列性質(zhì)的靈活運用。
難點：等差數(shù)列性質(zhì)在復雜題目中的遷移應用，前\(n\)項和公式與二次函數(shù)的.聯(lián)系及最值問題。
三、教學過程
�。ㄒ唬┲R回顧（15 分鐘）
等差數(shù)列定義與公式推導：
引導學生回顧等差數(shù)列定義，通過不完全歸納法推導通項公式，結(jié)合倒序相加法推導前\(n\)項和公式，強調(diào)公式中各參數(shù)（\(a_1\)為首項，\(d\)為公差，\(n\)為項數(shù)）的含義。
舉例：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1 = 2\)，\(d = 3\)，求\(a_5\)和\(S_5\)（\(a_5 = 2 + 43 = 14\)，\(S_5 = \frac{5(2 + 14)}{2} = 40\)）。
核心性質(zhì)梳理：
性質(zhì) 1：若\(m + n = p + q\)（\(m,n,p,q \in N^*\)），則\(a_m + a_n = a_p + a_q\)；特別地，當\(m + n = 2k\)時，\(a_m + a_n = 2a_k\)。
性質(zhì) 2：前\(n\)項和\(S_n = An^2 + Bn\)（\(A = \fracy2qj87rulgy2{2}\)，\(B = a_1 - \fracy2qj87rulgy2{2}\)），即\(S_n\)是關于\(n\)的二次函數(shù)（常數(shù)項為 0），可利用二次函數(shù)性質(zhì)求\(S_n\)的最值。
性質(zhì) 3：若等差數(shù)列的項數(shù)為\(2n\)，則\(S_{} - S_{} = nd\)，\(\frac{S_{}}{S_{}} = \frac{a_n}{a_{n + 1}}\)；項數(shù)為\(2n - 1\)時，\(S_{} - S_{} = a_n\)，\(\frac{S_{}}{S_{}} = \frac{n}{n - 1}\)。
�。ǘ┑湫屠}精講（25 分鐘）
基本運算類：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3 = 7\)，\(a_5 = 13\)，求\(a_n\)和\(S_n\)。
解析：由\(a_5 - a_3 = 2d = 6\)得\(d = 3\)，\(a_1 = a_3 - 2d = 1\)，故\(a_n = 1 + (n - 1)3 = 3n - 2\)，\(S_n = \frac{n(1 + 3n - 2)}{2} = \frac{3n^2 - n}{2}\)。
性質(zhì)應用類：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(S_{10} = 100\)，\(S_{20} = 300\)，求\(S_{30}\)。
解析：利用等差數(shù)列前\(n\)項和性質(zhì) “\(S_n\)，\(S_{2n} - S_n\)，\(S_{3n} - S_{2n}\)成等差數(shù)列”，則\(2(S_{20} - S_{10}) = S_{10} + (S_{30} - S_{20})\)，代入得\(2(300 - 100) = 100 + (S_{30} - 300)\)，解得\(S_{30} = 600\)。
最值問題類：等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1 = 25\)，\(S_9 = S_{17}\)，求前\(n\)項和\(S_n\)的最大值。
解析：由\(S_9 = S_{17}\)得\(925 + \frac{98}{2}d = 1725 + \frac{1716}{2}d\)，解得\(d = -2\)。\(S_n = 25n + \frac{n(n - 1)}{2}(-2) = -n^2 + 26n\)，當\(n = 13\)時，\(S_n\)取得最大值\(169\)。
�。ㄈ┱n堂練習與總結(jié)（15 分鐘）
練習：
已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2 + a_8 = 18\)，求\(a_5\)（答案：9）。
等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_4 = 10\)，\(S_5 = 35\)，求公差\(d\)（答案：3）。
總結(jié)：強調(diào)等差數(shù)列解題的 “兩大核心”—— 公式應用與性質(zhì)遷移，提醒學生遇到前\(n\)項和相關問題時，可優(yōu)先考慮二次函數(shù)性質(zhì)或前\(n\)項和的特殊性質(zhì)，簡化運算。
高三數(shù)學數(shù)列教案 8
一、教學目標
理解等比數(shù)列的定義（從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，且常數(shù)不為 0）、通項公式（\(a_n = a_1q^{n - 1}\)）及前\(n\)項和公式（\(S_n = \begin{cases} na_1, & q = 1 \\ \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}, & q \neq 1 \end{cases}\)）。
掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，如\(a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q\)（\(m + n = p + q\)）、前\(n\)項和的性質(zhì)等，能解決等比數(shù)列的綜合問題。
培養(yǎng)分類討論思想（如\(q = 1\)與\(q \neq 1\)的區(qū)分），提升在含參數(shù)問題中的解題嚴謹性。
二、教學重難點
重點：等比數(shù)列通項公式、前\(n\)項和公式的應用，等比數(shù)列性質(zhì)的.靈活運用。
難點：等比數(shù)列前\(n\)項和公式中\(zhòng)(q = 1\)與\(q \neq 1\)的分類討論，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，復雜數(shù)列的等比關系判斷。
三、教學過程
�。ㄒ唬┲R梳理（20 分鐘）
等比數(shù)列定義與公式：
定義強調(diào) “比為常數(shù)且不為 0”“首項不為 0”，通過不完全歸納法推導通項公式，結(jié)合錯位相減法推導前\(n\)項和公式，重點分析\(q = 1\)時前\(n\)項和為\(na_1\)的特殊情況。
舉例：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1 = 2\)，\(q = 2\)，求\(a_4\)和\(S_4\)（\(a_4 = 22^3 = 16\)，\(S_4 = \frac{2(1 - 2^4)}{1 - 2} = 30\)）。
核心性質(zhì)總結(jié)：
性質(zhì) 1：若\(m + n = p + q\)（\(m,n,p,q \in N^*\)），則\(a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q\)；特別地，當\(m + n = 2k\)時，\(a_m \cdot a_n = a_k^2\)。
性質(zhì) 2：前\(n\)項和\(S_n\)的性質(zhì)：若\(q \neq -1\)，則\(S_n\)，\(S_{2n} - S_n\)，\(S_{3n} - S_{2n}\)成等比數(shù)列；若\(q = -1\)且\(n\)為偶數(shù)，則\(S_n = 0\)。
性質(zhì) 3：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式可表示為\(a_n = Aq^n\)（\(A = \frac{a_1}{q}\)，\(A \neq 0\)，\(q \neq 0\)），即\(a_n\)是關于\(n\)的指數(shù)函數(shù)型數(shù)列。
�。ǘ┑湫屠}解析（25 分鐘）
基本運算類：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2 = 6\)，\(a_4 = 24\)，求\(a_n\)和\(S_n\)。
解析：由\(\frac{a_4}{a_2} = q^2 = 4\)得\(q = 2\)或\(q = -2\)。當\(q = 2\)時，\(a_1 = 3\)，\(a_n = 32^{n - 1}\)，\(S_n = 3(2^n - 1)\)；當\(q = -2\)時，\(a_1 = -3\)，\(a_n = -3(-2)^{n - 1}\)，\(S_n = \frac{-3[1 - (-2)^n]}{1 - (-2)} = 1 - (-2)^n\)。
性質(zhì)應用類：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(S_3 = 14\)，\(S_6 = 126\)，求\(q\)和\(a_1\)。
解析：因\(S_6 \neq 2S_3\)，故\(q \neq 1\)，由\(\begin{cases} \frac{a_1(1 - q^3)}{1 - q} = 14 \\ \frac{a_1(1 - q^6)}{1 - q} = 126 \end{cases}\)，兩式相除得\(1 + q^3 = 9\)，解得\(q = 2\)，代入得\(a_1 = 2\)。
分類討論類：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)前\(n\)項和\(S_n = 3^n + t\)，求\(t\)的值。
解析：當\(n = 1\)時，\(a_1 = S_1 = 3 + t\)；當\(n \geq 2\)時，\(a_n = S_n - S_{n - 1} = 3^n - 3^{n - 1} = 23^{n - 1}\)。因\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，故\(a_1\)需滿足\(a_n\)的通項，即\(3 + t = 23^{0}\)，解得\(t = -1\)。
�。ㄈ┱n堂練習與作業(yè)（10 分鐘）
練習：
等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3 \cdot a_5 = 16\)，求\(a_4\)（答案：±4）。
等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)前\(n\)項和\(S_n = 2^n - 1\)，求\(a_5\)（答案：16）。
作業(yè)：完成等比數(shù)列專項練習，重點攻克含參數(shù)的前\(n\)項和問題，標注分類討論的關鍵步驟。
高三數(shù)學數(shù)列教案 9
一、教學目標
掌握數(shù)列求和的常見方法，如公式法（等差、等比數(shù)列求和）、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法、倒序相加法。
能根據(jù)數(shù)列的通項特征，選擇合適的求和方法，準確計算數(shù)列的前\(n\)項和。
提升對復雜數(shù)列的拆解能力，培養(yǎng) “轉(zhuǎn)化與化歸” 思想，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求和。
二、教學重難點
重點：錯位相減法（適用于 “等差 × 等比” 型數(shù)列）、裂項相消法（適用于分式型數(shù)列）、分組求和法（適用于分段或復合型數(shù)列）的應用。
難點：錯位相減法的運算細節(jié)（避免漏項、符號錯誤），裂項相消法的裂項技巧（如\(\frac{1}{n(n + k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k})\)），復雜數(shù)列的分組拆分。
三、教學過程
�。ㄒ唬┓椒ㄊ崂砼c例題精講（35 分鐘）
裂項相消法：適用于通項為分式且分母可拆分為兩個相差常數(shù)的因式的數(shù)列，核心是 “裂項后前后抵消”。
例：求數(shù)列\(zhòng)(\{\frac{1}{n(n + 1)}\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)。
解析：因\(\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\)，故\(S_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}\)。
拓展：若通項為\(\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}\)，可通過有理化裂項為\(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\)，求和時同樣抵消。
分組求和法：適用于通項可拆分為 “等差 / 等比數(shù)列 + 等差 / 等比數(shù)列” 的復合型數(shù)列，分別求和后相加。
例：求數(shù)列\(zhòng)(\{2n + 3^n\}\)的`前\(n\)項和\(S_n\)。
解析：拆分為等差數(shù)列\(zhòng)(\{2n\}\)和等比數(shù)列\(zhòng)(\{3^n\}\)，分別求和：
等差數(shù)列前\(n\)項和\(S_{n1} = \frac{n(2 + 2n)}{2} = n(n + 1)\)；
等比數(shù)列前\(n\)項和\(S_{n2} = \frac{3(1 - 3^n)}{1 - 3} = \frac{3^{n + 1} - 3}{2}\)；
故\(S_n = S_{n1} + S_{n2} = n(n + 1) + \frac{3^{n + 1} - 3}{2}\)。
倒序相加法：適用于首末兩項之和為定值的數(shù)列，與等差數(shù)列前\(n\)項和公式推導思路一致。
例：已知\(f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}\)，求\(f(\frac{1}{n}) + f(\frac{2}{n}) + \dots + f(\frac{n - 1}{n})\)（\(n \in N^*\)）。
解析：先證\(f(x) + f(1 - x) = 1\)（代入化簡可得），設\(S = f(\frac{1}{n}) + f(\frac{2}{n}) + \dots + f(\frac{n - 1}{n})\)，
倒序得\(S = f(\frac{n - 1}{n}) + f(\frac{n - 2}{n}) + \dots + f(\frac{1}{n})\)，
兩式相加得\(2S = (n - 1)1\)，故\(S = \frac{n - 1}{2}\)。
（二）課堂練習與總結(jié)（10 分鐘）
練習：
求數(shù)列\(zhòng)(\{\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}\}\)的前\(n\)項和（答案：\(\frac{n}{2n + 1}\)）。
求數(shù)列\(zhòng)(\{n + 2^{n - 1}\}\)的前\(n\)項和（答案：\(\frac{n(n + 1)}{2} + 2^n - 1\)）。
總結(jié)：強調(diào) “通項定方法”—— 先分析通項結(jié)構(gòu)，再選擇對應求和策略，提醒錯位相減時注意符號和最后一項的處理，裂項時確保系數(shù)準確。
高三數(shù)學數(shù)列教案 10
一、教學目標
掌握求數(shù)列通項公式的常用方法，如觀察法、累加法、累乘法、構(gòu)造法（構(gòu)造等差 / 等比數(shù)列）、利用\(a_n\)與\(S_n\)的關系（\(a_n = \begin{cases} S_1, & n = 1 \\ S_n - S_{n - 1}, & n \geq 2 \end{cases}\)）。
能根據(jù)數(shù)列的遞推關系（如\(a_{n + 1} = a_n + f(n)\)、\(a_{n + 1} = a_n \cdot f(n)\)、\(a_{n + 1} = pa_n + q\)），選擇合適的方法求通項公式。
提升對遞推關系的轉(zhuǎn)化能力，培養(yǎng) “化未知為已知” 的解題思想，突破復雜遞推數(shù)列的通項求解難點。
二、教學重難點
重點：累加法（適用于\(a_{n + 1} - a_n = f(n)\)型）、累乘法（適用于\(\frac{a_{n + 1}}{a_n} = f(n)\)型）、構(gòu)造法（適用于\(a_{n + 1} = pa_n + q\)型）、\(a_n\)與\(S_n\)關系的應用。
難點：構(gòu)造法中輔助數(shù)列的設計（如將\(a_{n + 1} = pa_n + q\)轉(zhuǎn)化為\(a_{n + 1} + k = p(a_n + k)\)），含\(S_n\)與\(a_n\)混合遞推關系的'化簡。
三、教學過程
（一）方法梳理與例題精講（30 分鐘）
觀察法：適用于給出前幾項的數(shù)列，通過分析項與項數(shù)的規(guī)律推導通項。
例：已知數(shù)列前 5 項為\(2, 5, 10, 17, 26\)，求通項公式。
解析：項數(shù)\(n = 1\)時為\(1^2 + 1\)，\(n = 2\)時為\(2^2 + 1\)，故\(a_n = n^2 + 1\)。
利用\(a_n\)與\(S_n\)的關系：核心是注意\(n = 1\)時\(a_1 = S_1\)，\(n \geq 2\)時\(a_n = S_n - S_{n - 1}\)，最后驗證\(a_1\)是否符合\(n \geq 2\)時的通項。
例：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n = n^2 - 2n + 1\)，求\(a_n\)。
解析：當\(n = 1\)時，\(a_1 = S_1 = 1 - 2 + 1 = 0\)；
當\(n \geq 2\)時，\(a_n = S_n - S_{n - 1} = (n^2 - 2n + 1) - [(n - 1)^2 - 2(n - 1) + 1] = 2n - 3\)；
驗證：\(n = 1\)時\(21 - 3 = -1 \neq 0\)，故\(a_n = \begin{cases} 0, & n = 1 \\ 2n - 3, & n \geq 2 \end{cases}\)。
累加法：適用于遞推關系為\(a_{n + 1} - a_n = f(n)\)（\(f(n)\)可求和）的數(shù)列，累加消去中間項。
例：已知\(a_1 = 1\)，\(a_{n + 1} = a_n + 2n\)，求\(a_n\)。
解析：由遞推得\(a_2 - a_1 = 21\)，\(a_3 - a_2 = 22\)，…，\(a_n - a_{n - 1} = 2(n - 1)\)，
累加得\(a_n - a_1 = 2[1 + 2 + \dots + (n - 1)] = 2\frac{(n - 1)n}{2} = n(n - 1)\)，
故\(a_n = 1 + n(n - 1) = n^2 - n + 1\)。
累乘法：適用于遞推關系為\(\frac{a_{n + 1}}{a_n} = f(n)\)（\(f(n)\)可求積）的數(shù)列，累乘消去中間項。
例：已知\(a_1 = 2\)，\(\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n}{n + 1}\)，求\(a_n\)。
解析：由遞推得\(\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{3}\)，…，\(\frac{a_n}{a_{n - 1}} = \frac{n - 1}{n}\)，
累乘得\(\frac{a_n}{a_1} = \frac{1}{2}\frac{2}{3}\dots\frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n}\)，
故\(a_n = 2\frac{1}{n} = \frac{2}{n}\)。
構(gòu)造法（構(gòu)造等比數(shù)列）：適用于遞推關系為\(a_{n + 1} = pa_n + q\)（\(p \neq 1\)，\(q \neq 0\)）的數(shù)列，設\(a_{n + 1} + k = p(a_n + k)\)，求\(k\)后構(gòu)造等比數(shù)列。
例：已知\(a_1 = 1\)，\(a_{n + 1} = 2a_n + 1\)，求\(a_n\)。
解析：設\(a_{n + 1} + k = 2(a_n + k)\)，展開得\(a_{n + 1} = 2a_n + k\)，對比遞推式得\(k = 1\)，
故\(\{a_n + 1\}\)是以\(a_1 + 1 = 2\)為首項、2 為公比的等比數(shù)列，
因此\(a_n + 1 = 22^{n - 1} = 2^n\)，即\(a_n = 2^n - 1\)。
�。ǘ┱n堂練習與總結(jié)（15 分鐘）
練習：
已知\(S_n = 2a_n - 1\)，求\(a_n\)（答案：\(a_n = 2^{n - 1}\)）。
已知\(a_1 = 3\)，\(a_{n + 1} = a_n + 3n\)，求\(a_n\)（答案：\(a_n = \frac{3n(n + 1)}{2}\)）。
總結(jié)：強調(diào) “遞推定方法”—— 先判斷遞推關系類型，再選擇對應求解策略；利用\(a_n\)與\(S_n\)關系時務必驗證\(n = 1\)的情況，構(gòu)造法關鍵是找到合適的輔助數(shù)列。
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